Aksioma Lapangan-Field Axiom | Analisis Real

AKSIOMA LAPANGAN (FIELD AXIOM)

Adalah himpunan bilangan real R dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) dengan memenuhi :
A1. Untuk setiap a,b€R, a+b€R dan a+b=b+a,
A2. Untuk setiap a,b,c € R, a+(b+c)=(a+b)+c,
A3. Terdapat 0€R sehingga a+0=0+a=a untuk setiap a€R,
A4. Untuk setiap a€R terdapat -a€R sehingga a+(-a)=(-a)+a=0

M1. Untuk setiap a,b€R, a.b€R dan a.b=b
a
M2. Untuk setiap a,b,c€R, a.(b.c)=(a.b).c,
M3. Terdapat 1€R dan 1 tdk sama dgn 0 sehingga a.1=1.a=a, utk setiap a€R,
M4. Untuj setiap a€R dengan a tdk sama dgn 0, terdapat 1/a € R sehingga a.1/a = 1/a.a = 1

D. Untuk setiap a,b,c€R,  a(b+c)=a.b+ac

#Teorema 1

1. Jika a,b€R dan a+b=a, maka b=0
2. Jika a,b€R, a tdk sama dgn 0, dan a.b=a, maka b=1
3. Jika a€R,  maka a.0=0

#Bukti

1. 0=(-a)+a                         (A4)
      =(-a)+(a+b)
      =((-a)+a)+b=0+b=b      (A2),(A4),(A3)
Jadi, 0=b

2. Lihat (1)

3. a+a.0=a.1+a.0          (M3)
              =a(1+0)            (D)
              =a.1                  (A3)
              =a                     (M3)

Diperoleh a+a.0=a, maka menurut (1) disimpulkan a.0=0

[] Terbukti (y)

Itulah yang Yofan dapat di mata kuliah Analisi Real di smstr 5, semoga artikel yang yofan tulis dapat bermanfaat bagi pembaca sekalian. TERIMA KASIH